在债务人逝世之后，遗嘱所指定的继承人和受赠人有义务在法律允许的范围内，以其继承或接受的遗产价值来履行被继承人依法应担负的税费及债务。若遗留财产的实际价值无法全数偿还这些债务，那么继承人便有权根据自身意愿决定是否承担超出遗产权额之外的欠债，除非他们甘愿进行额外的赔偿。同样，若是继承人们明确表示拒绝接受遗产，那他们就无需承担起替被继承人偿还税费与债务的责任了。
《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条
继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。
继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。
二、债务人死亡的债务如何处理呢
以下是关于债务人死亡时所涉及的债务问题的处理方式:
首先，若债务人不幸离世，那么他在去世前继承的遗产将成为遗产继承人偿还债务的唯一法律依据和界限;
其次，假设未留下任何遗产，同时债务存在保证人的话，那么应由保证人全权负责履行义务;
最后，如果前两种情况皆未出现，而该笔债务又属婚姻存续期间发生且经夫妻双方签字确认的夫妻共同债务，那么当债务人离世后，相应的债务便应由其配偶全权承担。
当然，若无上述几种特殊情况，则债务势必随之消失，不必再次进行偿还。《民法典》第一千一百五十九条
分割遗产，应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务；但是，应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产。
三、债务人死亡配偶有债务继承责任吗
关于配偶是否应当继承其伴侣所背负的债务，这需要依据实际状况进行分析和判断。首要的步骤便是确认该债务是否被认定为夫妇间的共同债务。如若是，那么配偶将不得不承担起连带的还债责任。接着，假设债务为债务人个人的财务责任，继承人仅会在继承到的遗产范畴内对此债务负责偿还。然而，如果配偶成功地继承了债务人的遗产，他们就必须在所继承的财产范围之内，对债务承担起偿还的义务。但是，如果选择放弃继承，那么他们便无需承担任何责任。在此种情况下，债权人有权向债务人的继承人提出索赔要求。
债务人逝世后，继承人和受赠人须用遗产价值偿还税费和债务。若遗产不足以偿还，继承人可自由决定是否额外承担债务，除非自愿。若继承人拒绝继承遗产，则无需替债务人偿还税费与债务。遗产处理需遵循法律规定，确保公平与合理。
