1、根据我国相关规定，交通事故责任方不垫付一般不会被起诉；交通事故的责任方垫付医药费的问题全凭自愿，我国法律并没有规定责任方必须进行垫付，如果抢救费用超过责任限额的，未参加机动车第三者责任强制保险或者肇事后逃逸的，由道路交通事故社会救助基金先行垫付部分或者全部抢救费用，道路交通事故社会救助基金管理机构有权向交通事故责任人追偿。
2、交通事故人被撞伤对方不付医疗费的，可以由受害者向保险公司进行索赔，如果保险公司和肇事者拒不赔偿额，就可以向人民法院进行起诉，起诉肇事司机以及保险公司，要求法院裁判对方赔偿医药费、误工费、交通补助费、住院伙食补助费以及护理费等等。
《中华人民共和国民法典》第一千二百一十六条
机动车驾驶人发生交通事故后逃逸，该机动车参加强制保险的，由保险人在机动车强制保险责任限额范围内予以赔偿；机动车不明、该机动车未参加强制保险或者抢救费用超过机动车强制保险责任限额，需要支付被侵权人人身伤亡的抢救、丧葬等费用的，由道路交通事故社会救助基金垫付。道路交通事故社会救助基金垫付后，其管理机构有权向交通事故责任人追偿。
二、对交通事故责任认定不服，是否可向法院起诉
对交通事故责任认定不服，可以向法院起诉，但是不能提起行政诉讼，只能提起民事诉讼。因为对交通事故的责任认定不是一种行政行为，因此不能提起行政诉讼，也不能申请行政复议。
不过可以自道路交通事故认定书送达之日起3日内，向上一级公安机关交通管理部门提出书面复核申请。
《道路交通安全法》第七十三条
公安机关交通管理部门应当根据交通事故现场勘验、检查、调查情况和有关的检验、鉴定结论，及时制作交通事故认定书，作为处理交通事故的证据。交通事故认定书应当载明交通事故的基本事实、成因和当事人的责任，并送达当事人。
三、交通事故责任方要垫付医疗费吗
发生交通事故要不要垫付医疗费要看事故的具体经过了，首先要看事故责任是不是双方的，这个事故中的双方是没办法确定的，只能是简单的判定，具体还是要交警来划分责任，在责任划分没有明确时，伤者可以自己拿钱看病，肇事的一方也可以适当的垫付部分医药费。保险公司在责任没有划分前是不会垫付医药费的。何况目前我国法律还没有规定肇事方必须垫付医药费。等事故责任划分明确了，就可以按照责任划分的比例要求肇事方垫付医药费了，肇事方没钱的，可以找他的保险公司先行垫付交强险范围内的1万元医药费。等伤者出院一块算账，或者等伤者治疗终结后一并处理。
《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条
保险公司可以向被保险人赔偿保险金，也可以直接向受害人赔偿保险金。但是，因抢救受伤人员需要保险公司支付或者垫付抢救费用的，保险公司在接到公安机关交通管理部门通知后，经核对应当及时向医疗机构支付或者垫付抢救费用。
因抢救受伤人员需要救助基金管理机构垫付抢救费用的，救助基金管理机构在接到公安机关交通管理部门通知后，经核对应当及时向医疗机构垫付抢救费用。
《机动车交通事故责任强制保险条例》第二十二条
有下列情形之一的，保险公司在机动车交通事故责任强制保险责任限额范围内垫付抢救费用，并有权向致害人追偿：
(一)驾驶人未取得驾驶资格或者醉酒的；
(二)被保险机动车被盗抢期间肇事的；
(三)被保险人故意制造道路交通事故的。
有前款所列情形之一，发生道路交通事故的，造成受害人的财产损失，保险公司不承担赔偿责任。
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