父亲登报断亲后子女还能继承遗产，继承权并不会因为登报断亲而丧失，任何断绝亲子关系的书面协议在法律上都是无效的。根据规定，继承权在以下几种情况会丧失：继承人故意杀害被继承人的；继承人为争夺遗产而杀害其他继承人的；继承人遗弃被继承人，或者虐待被继承人情节严重的。
法律依据：《中华人民共和国民法典》第一千一百二十五条继承人有下列行为之一的，丧失继承权：
（一）故意杀害被继承人；
（二）为争夺遗产而杀害其他继承人；
（三）遗弃被继承人，或者虐待被继承人情节严重；
（四）伪造、篡改、隐匿或者销毁遗嘱，情节严重；
（五）以欺诈、胁迫手段迫使或者妨碍被继承人设立、变更或者撤回遗嘱，情节严重。
继承人有前款第三项至第五项行为，确有悔改表现，被继承人表示宽恕或者事后在遗嘱中将其列为继承人的，该继承人不丧失继承权。
受遗赠人有本条第一款规定行为的，丧失受遗赠权。
继母能继承父亲遗产的。且如果父亲立有遗嘱的情况下，应按照遗嘱进行履行。因遗嘱继承优于法定继承。如果没有遗嘱，按法定继承，继母作为法定配偶，属于第一顺序继承人之一，享有法定的继承权。
法律依据：《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条
继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
第一千一百二十七条
遗产按照下列顺序继承：
（一）第一顺序：配偶、子女、父母；
（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。
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