在离婚案件中，子女由父亲监护的情况下，母亲仍然享有以下多项权利：首先，母亲具有探望权，即拥有与孩子进行定期且频繁的探望及沟通的权利，以此来维系亲情纽带并加强母子间的亲密联系。
其次，母亲具备监督权，可以对父亲在抚养和教育子女方面的状况实施监督，旨在确保子女的合法权益获得充分保障。
第三，如果父亲出现了可能影响到子女身心健康发展的行为或事件，比如身患严重疾病、虐待子女或者涉及刑事犯罪等，那么母亲有权向法院提起诉讼，申请变更子女的抚养权。
此外，母亲还享有对子女重大事项的知情权以及参与决策的权利，包括但不限于子女的教育规划、医疗保健等重要事宜。
最后，母亲也有必要要求父亲保障她与子女之间的正常通信和联络渠道，以便更好地了解子女的生活动态和需求。
值得强调的是，母亲在行使以上各项权利时，必须遵守法律法规和社会道德规范，始终坚持对子女有益的角度出发，以实现子女的健康成长和全面发展为最终目标。
