这种行为已经构成了寻衅滋事罪，并且若涉及到口头威胁家人安全的严重情况，那么必须立即向警方报案。对于情节较为轻度的恐吓行为，我国公安机关通常会予以行为方五日以下的拘留处罚或五百元以下的罚款。
然而，在经过仔细审查之后，如果确认此类行为已构成犯罪，则将依法追究其刑事责任。
《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条
有下列行为之一的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款：
（一）写恐吓信或者以其他方法威胁他人人身安全的；
（二）公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的；
（三）捏造事实诬告陷害他人，企图使他人受到刑事追究或者受到治安管理处罚的；
（四）对证人及其近亲属进行威胁、侮辱、殴打或者打击报复的；
（五）多次发送淫秽、侮辱、恐吓或者其他信息，干扰他人正常生活的；
（六）偷窥、偷拍、窃听、散布他人隐私的。
