2013年6月-2016年6月是上一家公司办的居住证，2016年2月份跳槽到另外

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可以由现在单位帮忙补缴，不过费用应该是由自己承担的。16年到现在时间有点久，建议咨询社保机构看是否可以补缴

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可以的，会的

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劳动合同到期，劳动合同终止，可以领取失业金；领取失业保险金，不能写辞职申请。
按照《劳动合同法》的规定，劳动合同到期不续签的，劳动合同关系终止，是法定劳动合同终止情景之一。因劳动合同到期而终止劳动合同关系的，不需要写辞职申请，劳动者自己主动辞职的不能领失业保险金，应当直接要求用人单位办理《解除或者终止劳动合同证明》。
《劳动合同法》
第四十四条第一项 有下列情形之一的，劳动合同终止：
（一）劳动合同期满的；
第五十条 用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
《社会保险法》
第四十五条　失业人员符合下列条件的，从失业保险基金中领取失业保险金：
（一）失业前用人单位和本人已经缴纳失业保险费满一年的；
（二）非因本人意愿中断就业的；
（三）已经进行失业登记，并有求职要求的