合同到期，公司不续约，也不赔偿，公司是否需要出具什么书面证明给我？如果不出具书面证明，我是否可继续上班，还是直接劳动仲裁要求赔偿？

劳动合同到期的相关情况，具体你可以参照以下法律观点：
劳动合同到期公司不续签书面通知或提供的劳动待遇低于原合同，员工可以拒绝，应支付员工经济补偿金，若员工在08年前在公司工作，则从08年1月1日开始计算工作年限，每工作一年补偿员工一个月工资。若员工是08年以后到公司工作的，则按员工的实际工作年限，每工作一年补偿员工一个月工资。
劳动合同到期，公司没有与员工续签同，但员工仍在公司工作，公司应从第二个月起支付员工双倍工资。但要注意一年的诉讼时效。
劳动合同到期，若员工主动提出离职，是没有经济补偿金的。
劳动合同到期，法律没有规定公司是否应当提前30天通知，因此公司只要在到期前通知员工，公司愿意或不愿意续签订劳动合同就行了，即使没有提前30天，也不用支付该补偿。

到期不续约，可以继续上班，申请劳动仲裁

可以申请仲裁

合同到期，公司是不支付相应赔偿的